Cúbicas Reversas e Redes de Quádricas

para uma escolha adequada de coordenadas homogêneas na reta projetiva P e no espaço projetivo P. Ela pode ser visualizada no espaço usual de dimensão três como a curva dada parametricamente por t 7→ (t, t, t). Segundo Harris [4], “This is everybody’s first example of a concrete variety that is not a hypersurface, linear space, or finite set of points”. A cúbica reversa é a interseção de três quádricas no espaço projetivo tri-dimensional. Nosso objetivo é apresentar uma caracterização geométrica expĺıcita para o espaço de formas quadráticas que se anulam exatamente sobre uma cúbica reversa. O espaço vetorial das quádricas contendo uma cúbica reversa fixa é tridimensional: isto é o que se costuma chamar de uma rede de quádricas. A rede de quádricas pode ser vista como um plano projetivo ρ ∼= P no espaço projetivo de todas as quádricas. Nesse P temos uma hipersuperf́ıcie quártica distinguida ∆, dada pelo determinante da matriz simétrica 4×4 associada á quádrica. A hipersuperf́ıcie ∆ é a subvariedade de P cujos pontos correspondem às quádricas singulares de P. A interseção de ∆ com o plano ρ é uma curva plana de grau 4. A surpresa é que a equação dessa curva é o quadrado perfeito da equação de uma cônica irredut́ıvel. Nosso principal resultado é provar que vale a rećıproca. Seja ρ uma rede de quádricas. Suponha que ρ ∩ ∆ é definido pelo quadrado da equação de uma cônica irredut́ıvel. Podeŕıamos esperar que o lugar dos zeros comuns a todas as quádricas de ρ seja uma cúbica reversa? Veremos que a resposta é positiva, se exigirmos que nenhuma quádrica degenerada do tipo par de planos (i.e., com matriz associada de posto ≤ 2) pertença a ρ. Como a cúbica reversa não está contida em um plano de P, evidentemente sua rede de quádricas satisfaz essa restrição adicional.